Vorlesungen über Topologie: I, Flächentopologie by B. v. Kerékjártó (auth.)

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Die so erhaltene Folge von Stiicken 51' 52' ... h. 5 ist ein Grenzstuck von M. Unter einer perfekten 5tuckmenge verstehen wir eine solche abgeschlossene Stiickmenge, deren Stucke samtlich Grenzstiicke dieser Stuckmenge ~ind. Der Cantorsche Hauptsatz der Punktmengenlehre lautet: Wenn man von einer abgeschlossenen Punktmenge einen isolierten Punkt abtrennt, von der Restmenge wieder einen isolierten Punkt abtrennt usw. durch die transfiniten Ordnungszahlen, so fuhrt dieses Verfahren nach einer abziihlbaren Anzahl von 5chritten zu Ende.

Wenn cler Weg W aus einer Streeke s besteht. so ist die Behauptung unmittelbar ersiehtlieh. Setzen wir voraus, die Behauptung ware fur 25 § 1. Zur Geometrie der Ebene. + Wege erwiesen, die aus n Strecken bestehen; sei W = Wo s, wobei aus n Strecken besteht, und seine weitere Strecke ist, deren Anfangspunkt mit dem Endpunkt von Wo zusammenfaUt, die aber sonst keinen Punkt mit Wo gemeinsam hat. Je zwei Punkte A und B der Ebene lassen sich also durch einen Wo nicht treffenden Weg a verbinden. Wenn der Weg a die Strecke s trifft, nehmen wir von A aus den ersten Punkt P von a, der auf s liegt, und von B aus den ersten auf s liegenden Punkt Q von a.

Gn endlich viele Quadrate aus einer quadratischen Teilung der Ebene mit der Eigenschaft, daB es zu jedem Quadrat g, eine Folge gl = g(l), g(2), ... , g(k) = gi von Quadraten gk gibt, deren erstes und letztes Element gl und gi sind, und von denen je zwei aufeinander folgende eine gemeinsame Seite haben. Diese Quadrate bilden zusammen einen Polygonbereich, zu welchem aIle im Innem oder auf dem Rande dieser Quadrate gi liegenden Punkte gehoren. Innere Punkte dieses Bereichs sind diejenigen Punkte, die im Innem eines Quadrates gi' oder auf der gemeinsamen Seite von zwei Quadraten.

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