Computational algebra by Klaus G. Fischer, Philippe Loustaunau, Jay Shapiro, Edward

By Klaus G. Fischer, Philippe Loustaunau, Jay Shapiro, Edward Green, David Farkas

In accordance with the 5th Mid-Atlantic Algebra convention held lately at George Mason collage, Fairfax, Virginia. specializes in either the sensible and theoretical features of computational algebra. Demonstrates particular laptop programs, together with using CREP to review the illustration of idea for finite dimensional algebras and Axiom to review algebras of finite rank.

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N b˜k := b˜k + aik bi F¨ ur k = n, . . ,1 F¨ ur i = k + 1, . . 3 QR-Zerlegung 53 Bei der Aufwandsanalyse der QR-Zerlegung nach Gram-Schmidt betrachten wir lediglich den aufwendigen ersten Teil und vernachl¨ assigen auch hier das explizite L¨osen des Gleichungssystems. Somit erhalten wir # Multiplikationen + # Divisionen + # Wurzeln n n (k − 1) + n = 2n k=1 n 1+ n k=1 k=1 Divisionen Multiplikationen = 2n n k+n=2 k=1 n 1 + 1 k=1 Wurzeln n2 (n + 1) + n = n3 + n2 + n. 2 F¨ ur große n ist der Aufwand somit ungef¨ ahr dreimal so hoch wie beim Gauß-Algorithmus.

4 Der Banachsche Fixpunktsatz 31 Beweis: Mit x0 ∈ D ist xn+1 = F (xn ) , n = 0,1, . . wegen F : D → D wohldefiniert. Es gilt xn+1 − xn ≤ q xn − xn−1 ≤ . . ≤ q n x1 − x0 . 2) xn − xn+1 + xn+1 − xn+2 + . . + xm−1 − xm ≤ (q n + . . + q m−1 ) x1 − x0 ≤ qn ∞ q i x1 − x0 i=0 = qn x1 − x0 . 3) Wegen |q| < 1 erhalten wir xn − xm → 0 f¨ ur n → ∞, so daß mit {xn }n∈N eine Cauchy-Folge vorliegt. Aufgrund der Vollst¨andigkeit der Teilmenge D existiert ein x ∈ D mit xn → x , f¨ ur n → ∞ . 47 eindeutig bestimmt ist.

N b˜k := b˜k + aik bi F¨ ur k = n, . . ,1 F¨ ur i = k + 1, . . 3 QR-Zerlegung 53 Bei der Aufwandsanalyse der QR-Zerlegung nach Gram-Schmidt betrachten wir lediglich den aufwendigen ersten Teil und vernachl¨ assigen auch hier das explizite L¨osen des Gleichungssystems. Somit erhalten wir # Multiplikationen + # Divisionen + # Wurzeln n n (k − 1) + n = 2n k=1 n 1+ n k=1 k=1 Divisionen Multiplikationen = 2n n k+n=2 k=1 n 1 + 1 k=1 Wurzeln n2 (n + 1) + n = n3 + n2 + n. 2 F¨ ur große n ist der Aufwand somit ungef¨ ahr dreimal so hoch wie beim Gauß-Algorithmus.

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